Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle

\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 0 }

\renewcommand{\afuenf}{ 0 }

\renewcommand{\asechs}{ 0 }

\renewcommand{\asieben}{ 0 }

\renewcommand{\aacht}{ 0 }

\renewcommand{\aneun}{ 0 }

\renewcommand{\azehn}{ 0 }

\renewcommand{\aelf}{ 0 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 8 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage

\setcounter{section}{K}

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer Bereich} {} $R$.

}{Ein \stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Das \stichwort {Legendre-Symbol} {.}

}{Die \stichwort {Riemannsche Zetafunktion} {.}

}{Eine \stichwort {Mersennesche Primzahl} {.}

}{Eine \stichwort {Sophie-Germain-Primzahl} {.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Ein euklidischer Bereich ist ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$, für den eine Abbildung
\mathl{\delta: R \setminus \{0\} \to \N}{} existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente
\mathl{a , b}{} mit
\mathl{b \neq 0}{} gibt es
\mathl{q , r \in R}{} mit
\mathdisp {a = qb+r \text{ und } r=0 \text{ oder } \delta (r)< \delta (b)} { . }
}{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{a,b \in {\mathfrak a}}{} ist auch
\mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.} } {Für alle
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{r \in R}{} ist auch
\mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}} }{Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl
\mathl{k \in \Z}{} definiert man das Legendre-Symbol durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \left( \frac{ k }{ p }\right) }
{ \defeq} {\begin{cases} 1, \text{ falls } k \text{ quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}, \\ - 1, \text{ falls } k \text{ kein quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}. \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} }{Die Riemannsche $\zeta$-Funktion ist für
\mathl{s \in {\mathbb C}}{} mit Realteil
\mathl{\operatorname{Re} \, { \left( s \right) } > 1}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta(s) }
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. }{Eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} der Form
\mathl{2^n-1}{} heißt Mersennesche Primzahl. }{Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ mit der Eigenschaft, dass auch
\mathl{2p+1}{} eine Primzahl ist. }

}

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Chinesische Restsatz} {} für $\Z$.}{Das \stichwort {quadratische Reziprozitätsgesetz} {} für ungerade Primzahlen.}{Der \stichwort {Primzahlsatz} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
\mathl{n= p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} { \cdots } p_k^{r_k}}{.} Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen \maabb {} {\Z/(n)} {\Z/(p_i^{r_i} ) } {} einen Ringisomorphismus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n) }
{ \cong} { \Z/(p_1^{r_1} ) \times \Z/(p_2^{r_2} ) \times \cdots \times \Z/(p_k^{r_k} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es seien $p$ und $q$ zwei verschiedene ungerade \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Dann gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ p }{ q }\right) \cdot \left( \frac{ q }{ p }\right) }
{ =} { (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2} } }
{ =} { \begin{cases} -1 \, , \text{ wenn } p = q = 3 \mod 4 \, , \\ 1 \, , \text{ sonst} \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}}{Es gilt die asymptotische Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi(x) }
{ \sim} { \frac{x}{\ln (x)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{ \frac{x}{\ln (x)} } }
{ =} { \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\pi(x) \ln (x)}{x} }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}

}

\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestätige die folgende Identität.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^5 + 11^4 }
{ =} { 122^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^5 }
{ =} { 243 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{11^4 }
{ =} { 121^2 }
{ =} {14641 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^5 + 11^4 }
{ =} { 243 +14641 }
{ =} { 14884 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Andererseits ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{122^2 }
{ =} { 14884 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}