Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	0	0	1	0	4	4	3	0	4	0	0	0	0	24

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein euklidischer Bereich ${}R$.
2. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Das Legendre-Symbol.
4. Die Riemannsche Zetafunktion.
5. Eine Mersennesche Primzahl.
6. Eine Sophie-Germain-Primzahl.

Lösung

1. Ein euklidischer Bereich ist ein Integritätsbereich ${}R$, für den eine Abbildung ${}\delta :R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Für Elemente ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$ gibt es ${}q,r\in R$ mit

   $a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$

2. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
   2. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für eine ungerade Primzahl ${}p$ und eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol durch

   $\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$

4. Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch

   ${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

   definiert.

5. Eine Primzahl der Form ${}2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
6. Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine Primzahl ${}p$ mit der Eigenschaft, dass auch ${}2p+1$ eine Primzahl ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Chinesische Restsatz für ${}\mathbb {Z}$.
2. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
3. Der Primzahlsatz.

Lösung

1. Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$. Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

   ${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

2. Es seien ${}p$ und ${}q$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

   ${}\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

3. Es gilt die asymptotische Abschätzung

   ${}\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$

   Das heißt

   ${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.$

Lösung

Es ist

${}3^{5}=243\,$

und

${}11^{4}=121^{2}=14641\,.$

Somit ist

${}3^{5}+11^{4}=243+14641=14884\,.$

Andererseits ist auch

${}122^{2}=14884\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\binom {15}{5}}.$

Lösung

Es ist

${}{\binom {15}{5}}={\frac {15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\frac {14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{4\cdot 2}}={\frac {7\cdot 13\cdot 3\cdot 11}{1}}=3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${}n$ sei ${}a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$.

1. Bestimme ${}a_{n}$ für ${}n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
2. Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

   ${}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=a_{n+3}\,?$

Lösung

1. Es ist

   $a_{1}=1,\,a_{2}=2,\,a_{3}=6,\,a_{4}=12,\,a_{5}=60,\,a_{6}=60,\,a_{7}=420,\,a_{8}=840,\,a_{9}=2520.$

2. Genau dann ist

   ${}a_{n+1}>a_{n}\,,$

   wenn ${}n$ eine Primzahlpotenz ${}p^{k}$, ${}k\geq 1$, (${}p$ Primzahl) ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von drei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist ${}20,21,22$, die Antwort ist also ${}19$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}x$ und ${}y$ natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt ${}xy$ als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.

Lösung

Es sei

${}x=a^{2}+b^{2}\,$

und

${}y=c^{2}+d^{2}\,.$

Wir setzen

${}r=ac-bd\,$

und

${}s=ad+bc\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}r^{2}+s^{2}&=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2acbd+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+2adbc\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\\&=xy,\end{aligned}}$

also ist auch das Produkt eine Summe von zwei Quadratzahlen.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {55}}$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

${}93=1\cdot 55+38\,,$

${}55=1\cdot 38+17\,,$

${}38=2\cdot 17+4\,,$

${}17=4\cdot 4+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=17-4\cdot 4\\&=17-4\cdot (38-2\cdot 17)\\&=9\cdot 17-4\cdot 38\\&=9\cdot {\left(55-38\right)}-4\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot 38\\&=9\cdot 55-13\cdot {\left(93-55\right)}\\&=22\cdot 55-13\cdot 93.\end{aligned}}$

Daher ist

$22$

das inverse Element zu ${}55$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ derart, dass es ein Polynom ${}P\neq 0$ mit rationalen Koeffizienten und mit

${}P(z)=0\,$

gibt. Zeige, dass man

${}z={\frac {u}{v}}\,$

schreiben kann, wobei ${}v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu ${}u$ ein normiertes Polynom ${}Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${}Q(u)=0\,$

gibt.

Lösung

Es sei

${}P=c_{n}X^{n}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,$

mit ${}c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}$, ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, ${}b_{i}>0$ und ${}c_{n}\neq 0$. Wir multiplizieren dieses Polynom mit ${}c_{n}^{-1}$ und können somit annehmen, dass ${}P$ normiert ist. Wir setzen

${}b=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\,.$

Aus

${}P(z)=z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}=0\,$

ergibt sich durch Multiplikation mit ${}b^{n}$ direkt

${}{\begin{aligned}0&=b^{n}{\left(z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}\right)}\\&=b^{n}z^{n}+b^{n}c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n}c_{2}z^{2}+b^{n}c_{1}z+b^{n}c_{0}\\&=b^{n}z^{n}+bc_{n-1}b^{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}b^{2}z^{2}+b^{n-1}c_{1}bz+b^{n}c_{0}\\&=(bz)^{n}+bc_{n-1}(bz)^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}(bz)^{2}+b^{n-1}c_{1}(bz)+b^{n}c_{0}.\end{aligned}}$

Dies bedeutet, dass ${}bz$ eine Nullstelle des Polynoms

${}Q=X^{n}+bc_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}X^{2}+b^{n-1}c_{1}X+b^{n}c_{0}\,$

ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen

${}b^{n-i}c_{i}={\left(b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\right)}^{n-i}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist

${}z={\frac {bz}{b}}\,$

mit ${}b\in \mathbb {N}$ und der Zähler ${}bz$ ist die Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung