Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Ein euklidischer Bereich ist ein Integritätsbereich ${}R$ , für den eine Abbildung ${}\delta :R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Für Elemente ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$ gibt es ${}q,r\in R$ mit
$a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$
Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$ .
2. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$ .
Für eine ungerade Primzahl ${}p$ und eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol durch
$\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$
Die Riemannsche ${}\zeta$ -Funktion ist für ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch
${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

definiert.
Eine Primzahl der Form ${}2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine Primzahl ${}p$ mit der Eigenschaft, dass auch ${}2p+1$ eine Primzahl ist.

Formuliere die folgenden Sätze.

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ . Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus
${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$
Es seien ${}p$ und ${}q$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
${}\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Es gilt die asymptotische Abschätzung
${}\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$

Das heißt

${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$