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Summe von zwei Quadraten/Produkt/Aufgabe/Lösung
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Summe von zwei Quadraten/Produkt/Aufgabe
Es sei
x
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle {}x=a^{2}+b^{2}\,}
und
y
=
c
2
+
d
2
.
{\displaystyle {}y=c^{2}+d^{2}\,.}
Wir setzen
r
=
a
c
−
b
d
{\displaystyle {}r=ac-bd\,}
und
s
=
a
d
+
b
c
.
{\displaystyle {}s=ad+bc\,.}
Dann ist
r
2
+
s
2
=
(
a
c
−
b
d
)
2
+
(
a
d
+
b
c
)
2
=
a
2
c
2
+
b
2
d
2
−
2
a
c
b
d
+
a
2
d
2
+
b
2
c
2
+
2
a
d
b
c
=
a
2
c
2
+
b
2
d
2
+
a
2
d
2
+
b
2
c
2
=
(
a
2
+
b
2
)
(
c
2
+
d
2
)
=
x
y
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}r^{2}+s^{2}&=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2acbd+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+2adbc\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\\&=xy,\end{aligned}}}
also ist auch das Produkt eine Summe von zwei Quadratzahlen.
Zur gelösten Aufgabe