Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 7 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 10 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer Bereich} {} $R$.

}{Eine \stichwort {vollkommene Zahl} {.}

}{Das \stichwort {Minimalpolynom} {} eines Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einer endlichen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Ein \stichwort {quadratischer Zahlbereich} {.}

}{Die \stichwort {Norm} {} zu einem Ideal ${\mathfrak a} \neq 0$ in einem quadratischen Zahlbereich $R$.

}{Die \stichwort {Diskriminante} {} einer binären quadratischen Form. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Ein euklidischer Bereich ist ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$, für den eine Abbildung
\mathl{\delta: R \setminus \{0\} \to \N}{} existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente
\mathl{a , b}{} mit
\mathl{b \neq 0}{} gibt es
\mathl{q , r \in R}{} mit
\mathdisp {a = qb+r \text{ und } r=0 \text{ oder } \delta (r)< \delta (b)} { . }
}{Eine natürliche Zahl $n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von $n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt. }{Das Minimalpolynom von
\mathl{x \in L}{} \zusatzklammer {über $K$} {} {} ist das normierte Polynom
\mathl{P\in K[X]}{} von minimalem Grad mit
\mathl{P(x)=0}{.} }{Ein quadratischer Zahlbereich ist der \definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{} in einem \definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{} von $\Q$ vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2$. }{Die \zusatzklammer {endliche} {} {} Anzahl des Restklassenringes
\mathl{A_D/{\mathfrak a}}{} heißt die \stichwort {Norm} {} von ${\mathfrak a}$. }{Zu einer \definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mathdisp {aX^2+bXY+cY^2} { }
nennt man
\mathdisp {b^2-4ac} { }
die Diskriminante der Form. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo $n$.}{Das \stichwort {Bertrandsche Postulat} {.}}{Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich $R$.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Genau dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} modulo $n$ \zusatzklammer {d.h. $a$ repräsentiert eine Einheit in \mathlk{\Z/(n)}{}} {} {,} wenn \mathkor {} {a} {und} {n} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.}{Für jede positive natürliche Zahl $n$ gibt es eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} zwischen \mathkor {} {n+1} {und} {2n} {.}}{Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element. Setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ (f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N( {\mathfrak a} ) }
{ = }{ \betrag {N(f)} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.

}
{

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \delta(a) \mid a \in I , \, a \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum $m$, das von einem Element
\mathl{b \in I, \, b \neq 0}{,} herrührt, sagen wir
\mathl{m= \delta(b)}{.} Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Dabei ist die Inklusion \anfuehrung{$\supseteq$}{} klar. Zum Beweis der Inklusion \anfuehrung{$\subseteq$}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{qb+r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(r) }
{ < }{ \delta (b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Minimalität von $\delta(b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $a$ ist ein Vielfaches von $b$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{10 ! }
{ =} { 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }
{ =} { 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2^2\cdot 3 \cdot 2 }
{ =} { 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1.5+1.5)}
{


a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.


b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 5 \!\! \mod 11 \text{ und } x = 6 \!\! \mod 13} { . }

}
{


a) $(1,0,0)$

Wir betrachten die Vielfachen von
\mathl{11 \cdot 13= 143}{,} diese haben modulo $11$ und modulo $13$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $143$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $286$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $286$ das Restetupel
\mathl{(1,0,0)}{.}


\mathl{(0,1,0)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $39$, und $39$ hat modulo $11$ den Rest $6$ und
\mathl{2 \cdot 39=78}{} hat modulo $11$ den Rest $1$, also repräsentiert
\mathl{78}{} das Restetupel
\mathl{(0,1,0)}{.}


\mathl{(0,0,1)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $33$, und $33$ hat modulo $13$ den Rest $7$ und
\mathl{2 \cdot 33=66}{} hat modulo $13$ den Rest $1$, also repräsentiert
\mathl{66}{} das Restetupel
\mathl{(0,0,1)}{.}


b) Man schreibt \zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,5,6) }
{ =} {2(1,0,0)+5(0,1,0)+ 6(0,0,1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Lösung ist dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 2 \cdot 286 + 5 \cdot 78 + 6 \cdot 66 }
{ =} { 572+ 390 + 396 }
{ =} { 1358 }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Die minimale Lösung ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1358- 3 \cdot 429 }
{ = }{ 71 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+1+1)}
{

Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:

a) $\Z/(73)$,

b) ${\mathbb F}_{125}$,

c) ${\mathbb F}_{64}$,

d) $\Z/(113)$.

}
{

Da die Einheitengruppe eines Körpers mit $n$ Elementen zyklisch ist, geht es um die Anzahl der Erzeuger von
\mathl{\Z/(n-1)}{,} die mit der eulerschen $\varphi$-Funktion berechnet werden kann.

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{72 }
{ =} {2^3 \cdot 3^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4 \cdot 2 \cdot 3 }
{ =} { 24 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 124 }
{ =} {2^2 \cdot 31 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 30 }
{ =} { 60 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{63 }
{ =} { 3^2 \cdot 7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3 \cdot 6 }
{ =} { 36 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

d) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{112 }
{ =} { 2^4 \cdot 7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 \cdot 6 }
{ =} { 48 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

}
{

Ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \leq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit
\mathl{(u,v)}{,} wobei $u$ zwischen \mathkor {} {0} {und} {a} {} und $v$ zwischen \mathkor {} {0} {und} {b} {} liegt. Es sei $r$ der Rest von $-b$ bei Division durch $a$. Wir behaupten, dass wenn man die Belegung
\mathl{(u,0)}{} durch die erlaubten Schritte erzielen kann, dass man dann auch
\mathl{(u',0)}{} erzielen kann, wobei $u'$ den Rest von
\mathl{u+r}{} modulo $a$ bezeichnet. Wir starten also mit
\mathdisp {(u,0)} { . }
Durch Umschüttung kann man
\mathdisp {(0,u)} { }
erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man
\mathdisp {(0,u+a)} { }
erreichen, und ebenso der Reihe nach
\mathdisp {(0,u+2a),\, (0,u+2a) , \ldots , (0,u+ k a)} { , }
wobei $k$ so gewählt sei, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+k a }
{ \leq} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u+ (k+1)a }
{ >} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sei. Von hier aus erreichen wir
\mathdisp {(a, u+ka)} { . }
Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Es sei $m$ die umgefüllte Menge. Diese erfüllt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+ka +m }
{ =} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-m }
{ =} {a- ( b-u-ka) }
{ =} {u + (k+1) a-b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Menge ist also der Rest von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u-b }
{ = }{u+r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} modulo $a$, wie behauptet.

Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen \zusatzklammer {bzw. die Reste davon modulo a} {} {.}
\mathdisp {(0,0), (r,0), (2r,0), (3r,0), \ldots} { . }
Da $b$ teilerfremd zu $a$ ist, gibt es nach dem Lemma von Bezout positive ganze Zahlen $n,m$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ma-nb }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {Falls $n,m$ negativ sind, betrachtet man einfach
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ (sb+m)a-(sa+n)b }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein ausreichend großes $s$} {} {.}

Somit ist modulo $a$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n r }
{ \equiv} {- nb }
{ =} { 1-ma }
{ =} { 1 }
{ } { }
} {}{}{,} sodass bei Division durch $a$ für ein gewisses $n$ der Rest von $nr$ gleich $1$ ist.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{

Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_n$ das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} der Zahlen
\mathl{1,2,3 , \ldots , n}{.} \aufzaehlungzwei {Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n }
{ =} {a_{n+1} }
{ =} {a_{n+2} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?} } {Zeige, dass die Reihe
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ a_n } }} { }
konvergiert. }

}
{

\aufzaehlungzwei {Genau dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n+1} }
{ >} { a_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wenn
\mathl{n+1}{} eine Primzahlpotenz
\mathbed {p^k} {}
{k \geq 1} {}
{} {} {} {,} \zusatzklammer {$p$ Primzahl} {} {} ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von zwei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist
\mathl{14,15}{,} die Antwort ist also $13$. } {Für
\mathl{n \geq 2}{} ist $a_n$ insbesondere ein Vielfaches von $n$ und $n-1$. Da diese beiden Zahlen teilerfremd sind, ist $a_n$ ein Vielfaches von
\mathl{n(n-1)}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n }
{ \geq} { n(n-1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a_n } } }
{ \leq} {{ \frac{ 1 }{ n(n-1) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ a_n } } }
{ \leq} { 1 + \sum_{n = 2}^\infty { \frac{ 1 }{ n(n-1) } } }
{ \leq} { 1 + \sum_{n = 2}^\infty { \frac{ 1 }{ (n-1)^2 } } }
{ =} {1+ \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } } }
{ } { }
} {} {}{.} Da die Kehrwerte der Quadratzahlen bekanntlich konvergieren, liegt nach dem Majorantenkriterium Konvergenz vor. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
\mathdisp {\left(\frac{1003}{4459}\right)} { . }

}
{

Die Zahlen \mathkor {} {1003} {und} {4459} {} haben beide modulo $4$ den Rest $3$. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 1003 }{ 4459 }\right) }
{ =} { -\left( \frac{ 4459 }{ 1003 }\right) }
{ =} { -\left( \frac{ 447 }{ 1003 }\right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Zahl $447$ hat ebenfalls den Rest $3$ modulo $4$, also ist dies gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 1003 }{ 447 }\right) }
{ =} { \left( \frac{ 109 }{ 447 }\right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Zahl $109$ hat den Rest $1$ modulo $4$, somit ist dies gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left( \frac{ 447 }{ 109 }\right) }
{ =} { \left( \frac{ 11 }{ 109 }\right) }
{ =} { \left( \frac{ 109 }{ 11 }\right) }
{ =} { \left( \frac{ 10 }{ 11 }\right) }
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) \cdot \left( \frac{ 5 }{ 11 }\right) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) \cdot \left( \frac{ 11 }{ 5 }\right) }
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) \cdot \left( \frac{ 1 }{ 5 }\right) }
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) }
{ } {}
} {}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2^{5} }
{ = }{ 32 }
{ = }{ -1 \mod 11 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist dies nach dem Euler-Kriterium gleich $-1$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.

}
{

Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner $h$ schreiben und setzen die Seitenlängen als
\mathl{{ \frac{ a }{ h } }, { \frac{ b }{ h } }, { \frac{ c }{ h } }}{} an, mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2 + b^2 }
{ =} {c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Flächenbedingung bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ a }{ h } } \cdot { \frac{ b }{ h } } }
{ =} { 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ab }
{ =} { 4 h^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir lösen nach $b$ auf und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ =} { { \frac{ 4h^2 }{ a } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2 + { \left( { \frac{ 4h^2 }{ a } } \right) }^2 }
{ =} {c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^4 +16h^4 }
{ =} { a^2 c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Dann wäre aber das Tripel
\mathl{(a,2h,ac)}{} eine nichttriviale Lösung der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 +y^4 }
{ =} {z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was es nach Fakt nicht geben kann.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{10 (2+2+6)}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\Z[X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\Z/(q) [X]$, \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist. }{Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss. }{Es sei $p$ eine Primzahl und $G \in \Z/(p) [X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom
\mathl{F\in \Z[X]}{} gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist. }

}
{

\aufzaehlungdrei{Nehmen wir an, dass $F \in \Z[X]$ nicht irreduzibel ist. Es gibt dann eine Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} {G H }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in
\mathl{\Z[X]}{,} wobei
\mathl{G,H}{} ebenfalls normierte Polynome sind, die einen kleineren Grad als $F$ besitzen. Da die Reduktion modulo $q$ ein Ringhomomorphismus \maabbeledisp {} {\Z[X]} { \Z/(q) [X] } {F} { \overline{F} } {,} ist, der für normierte Polynome den Grad unverändert lässt, folgt sofort eine Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\overline{F} }
{ =} { \overline{G} \cdot \overline{H} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die der Irreduzibilität von $\overline{F}$ in
\mathl{\Z/(q) [X]}{} widerspricht. }{Es sei
\mathl{F=2X}{,} wobei diese Darstellung unmittelbar zeigt, dass $F$ nicht irreduzibel in $\Z[X]$ ist. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Reduktion modulo $3$ gleich
\mathl{2X}{,} doch dies ist, da $2$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in
\mathl{\Z/(3)}{} ist, \definitionsverweis {assoziiert}{}{} zum irreduziblen Polynom $X$. }{Es sei nun
\mathl{G \in \Z/(p) [X]}{} ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Es sei $q \neq p$ eine weitere Primzahl. Da es einen Körper $K$ mit $q^n$ Elementen gibt, und da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers nach Fakt von einem Element erzeugt wird, ist $K$ eine \definitionsverweis {einfache}{}{} \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} von $\Z/(q)$. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ \cong} { \Z/(q) [X] /(H) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem normierten irreduziblen Polynom
\mathl{H \in \Z/(q) [X]}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{G} }
{ =} {X^n+ a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X+a_0 \in \Z[X] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein normiertes ganzzahliges Polynom, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt. Diese Eigenschaft ändert sich nicht, wenn wir Vielfache von $pX^{i}$ mit $i$ zwischen \mathkor {} {0} {und} {n-1} {} dazuaddieren. Wir behaupten, dass wir durch solche Additionen erreichen können, dass die Reduktion modulo $q$ zum irreduzibeln Polynom $H$ wird. Aus Teil (1) folgt dann, dass dieses neue $G'$ irreduzibel ist. Die Abänderung können wir komponentenweise durchführen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H }
{ =} {X^n+ b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_1X+b_0 \in \Z[X] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{b_i \in \Z/(q)}{.} Da $\overline{p}$ in
\mathl{\Z/(q)}{} eine Einheit ist, erzeugt es als Gruppe
\mathl{\Z/(q)}{,} d.h.
\mathl{0, \overline{p}, 2 \overline{p}, \ldots}{} durchläuft alle Elemente von
\mathl{\Z/(q)}{.} Somit kann man durch Addition eines Vielfachen von $p$ erreichen, dass
\mathl{a_i +kp}{} modulo $q$ mit $b_i$ übereinstimmt. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige, dass jedes Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthält.

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \neq }{ f }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dieses Element ist nach der Definition eines \definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{} \definitionsverweis {ganz}{}{} über $\Z$ und erfüllt demnach eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n+ k_{n-1}f^{n-1} + k_{n-2}f^{n-2} + \cdots + k_1f +k_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit ganzen Zahlen $k_i$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0 }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( f^{n-1}+ k_{n-1}f^{n-2} + k_{n-2}f^{n-3} + \cdots + k_1 \right) } }
{ =} {-k_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0 }
{ \in }{ (f) \cap \Z }
{ \subseteq }{{\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und seien
\mathl{f,g \in \Z}{} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} Zahlen. Zeige, dass für den \zusatzklammer {im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen} {} {} Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f \cap R_g }
{ =} {R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{

Sei
\mathdisp {q \in R_g \cap R_f} { . }
Das bedeutet, dass es Zähler
\mathl{a,b \in R}{} und Exponenten
\mathl{r,s \in \N}{} gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q }
{ =} { { \frac{ a }{ g^r } } }
{ =} { { \frac{ b }{ f^s } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Da \mathkor {} {g} {und} {f} {} teilerfremd sind, sind auch \mathkor {} {g^r} {und} {f^s} {} teilerfremd und somit gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen
\mathl{u,v \in \Z}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ug^r +vf^s }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{q }
{ =} {q \cdot 1 }
{ =} { q \cdot { \left( ug^r +vf^s \right) } }
{ =} { { \frac{ a }{ g^r } } ug^r + { \frac{ b }{ f^s } } vf^s }
{ =} { au+bv }
} {} {}{,} und dies gehört zu $R$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { }
erzeugt wird.

}
{

Wir bringen die drei Brüche auf einen Hauptnenner, was
\mathdisp {\frac{90}{210},\, \frac{175}{210} , \, \frac{63}{210}} { }
ergibt. Der größte gemeinsame Teiler der beiden ersten Zähler ist $5$. Da dies teilerfremd zu $63$ ist, sind die drei Zähler insgesamt teilerfremd. Daher wird das gebrochene Ideal durch
\mathl{\frac{1}{210}}{} erzeugt.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft gibt, dass für alle \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} ${\mathfrak m}$ gilt:
\mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }

}
{

Da die Idealklassengruppe von $R$ endlich ist, gibt es ein $n \in \N_+$ derart, dass die $n$-te Potenz von ${\mathfrak a}$ ein Hauptideal ist. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^n }
{ =} { (g) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem gewissen
\mathbed {g \in R} {}
{g \neq 0} {}
{} {} {} {.} Da \mathkor {} {{\mathfrak a}} {und} {{\mathfrak a}^n} {} das gleiche \definitionsverweis {Radikal}{}{} besitzen, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {g^k }
{ \in} { {\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für ein gewisses $k$. Somit stimmen die Radikale zu ${\mathfrak a}$, zu ${\mathfrak a}^n$, zu $(g)$ und zu $(f)$ überein. Für ein maximales Ideal ${\mathfrak m}$ gilt nun
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}}{} genau dann, wenn
\mathl{{\mathfrak a}^n \subseteq {\mathfrak m}}{} genau dann, wenn
\mathl{g \in {\mathfrak m}}{} genau dann, wenn
\mathl{f \in {\mathfrak m}}{.}


}