Elementare und algebraische Zahlentheorie/4/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 0 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 9 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 27 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Assoziiertheit} {}
von Elementen
\mathl{a,b}{} in einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {Hauptidealbereich} {.}
}{Ein \stichwort {pythagoreisches Tripel} {.}
}{Der \stichwort {Grad} {} einer endlichen Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{.}
}{Die \stichwort {konvexe Hülle} {} von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Den
\stichwort {Divisor zu einem Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} in einem Zahlbereich $R$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von $\Z$ mit zyklischer Einheitengruppe.}{Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.}{Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien drei verschiedene Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt
\mathl{a \cdot b \cdot c}{} minimal?
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Betrachte die Quadratrestgruppe
\mathdisp {\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}} { , }
wobei
\mathl{\mathbb Q^{\times 2}}{} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse
\mathl{x \in \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}}{} einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9}
{
Zeige, dass die diophantische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^4+y^4
}
{ =} { z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}