Elementare und algebraische Zahlentheorie/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	0	3	2	9	0	0	0	0	0	0	0	0	27

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Assoziiertheit von Elementen ${}a,b$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Hauptidealbereich.
3. Ein pythagoreisches Tripel.
4. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Die konvexe Hülle von ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
6. Den Divisor zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$ mit zyklischer Einheitengruppe.
2. Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.
3. Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien drei verschiedene Zahlen ${}a,b,c>1$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt ${}a\cdot b\cdot c$ minimal?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit ${}p$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

$\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$

wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$ einen Repräsentanten aus ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass die diophantische Gleichung

${}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$

keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)