Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 44 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {irreduzibles} {} Element $p$ in einen kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwort {Hauptideal} {} in einem kommutativen Ring $R$.
}{Die \stichwort {erste Tschebyschow-Funktion} {.}
}{Eine \stichwort {algebraische Zahl} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {ganzes Element} {}
\mathl{x \in S}{} bei einer Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Das \stichwort {gebrochene Ideal zu einem Divisor} {} $D$ in einem Zahlbereich $R$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {quadratische Reziprozitätsgesetz} {}
für ungerade Primzahlen.}{Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{
Es seien
\mathl{a,b}{} positive natürliche Zahlen. Die Summe der
\definitionsverweis {Stammbrüche}{}{}
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } }
}
{ =} { { \frac{ b+a }{ ab } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass bei $a,b$ \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} diese Darstellung gekürzt ist.
b) Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $n$ eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.}
Zeige, dass die Zahl
\mathdisp {n (n+1)(n+2)(n+3)} { }
durch $8$
\definitionsverweis {teilbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass für einen \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{} $K$ das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Q[\sqrt{3}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{:}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & - 2 -3 \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1- \sqrt{3} \\ 4 -2 \sqrt{3} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Finde die kleinste Zahl $n \geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass $n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {L
}
{ =} { \Q[ \sqrt{D} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
eine
$\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
erhält. Zeige, dass $\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus $L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der
\definitionsverweis {Konjugation}{}{}
mit einer solchen Multiplikation ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit der Ordnungsfunktion ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}