Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	4	6	4	6	0	4	2	0	0	0	4	7	48

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe ${}G$.
2. Eine Fermatsche Primzahl.
3. Eine ${}R$-Algebra ${}A$, wobei ${}R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
4. Die Diskriminante zu Elementen ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in L$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vom Grad ${}n$.
5. Ein Dedekindbereich.
6. Ein effektiver Divisor in einem Zahlbereich ${}R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Quadratcharakterisierung von ${}-1$ für Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
3. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}831600$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}3146$ und ${}1515$ und man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}3146$ und ${}1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$. Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im ${}n$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob ${}n$ eine Primzahl ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$ durch Induktion über das Maximum von ${}a$ und ${}b$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {2333}{3673}}\right).$

Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien ${}I$ und ${}J$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit

${}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}F=X^{3}+X+2$ in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$.

b) Zeige, dass durch

$K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$

ein Körper mit ${}25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von ${}F=X^{3}+X+2$ über ${}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen

${\frac {3}{7}},\,{\frac {5}{6}},\,{\frac {3}{10}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann ${}R$ ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}A_{-10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-10}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-10$. Berechne den Hauptdivisor zu

$q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}.$