Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 48 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Exponent} {} zu einer endlichen Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Fermatsche Primzahl} {.}
}{Eine \stichwortpraemath {R} {Algebra}{} $A$, wobei $R$ einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} bezeichnet.
}{Die
\stichwort {Diskriminante} {}
zu Elementen
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in L}{} bei einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{} vom Grad $n$.
}{Ein \stichwort {Dedekindbereich} {.}
}{Ein \stichwort {effektiver Divisor} {} in einem Zahlbereich $R$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Quadratcharakterisierung von $-1$ für Restklassenkörper von $\Z$.}{Der \stichwort {Satz von Dirichlet} {} über die Verteilung von Primzahlen.}{Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $831600$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System
\zusatzklammer {ohne die Nuller- und die Zehnerreihe} {} {,}
ob $n$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {} durch Induktion über das Maximum von \mathkor {} {a} {und} {b} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{2333}{3673}\right)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (I+J)^n
}
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+1+1)}
{
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathl{F=X^3+X+2}{} in
\mathl{\Z/(5) [X]}{.}
b) Zeige, dass durch
\mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { }
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von
\mathl{F=X^3+X+2}{} über
\mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { }
erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller}{}{} \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass dann $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\mathl{A_{-10} = \Z[\sqrt{-10}] \cong \Z[X]/(X^2+10)}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-10}{.} Berechne den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mathdisp {q= \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10}} { . }
}
{} {}