Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Ein Element ${}u$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.
2. Eine zahlentheoretische Funktion

   $f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${}m,n$ stets

   ${}f(mn)=f(m)f(n)\,$

   gilt.

3. Man nennt den ganzen Abschluss von ${}R$ im Quotientenkörper ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.
4. Man nennt die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von ${}R$ die Diskriminante von ${}R$.
5. Man nennt einen endlich erzeugten ${}R$-Untermodul ${}{\mathfrak {f}}$ des Quotientenkörpers ${}Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.
6. Man sagt, dass eine ganze Zahl ${}n$ durch eine binäre quadratische Form

   $aX^{2}+bXY+cY^{2}$

   darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen ${}(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit

   ${}n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$

   gibt.

Zur gelösten Aufgabe