Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
   1. ${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
   2. ${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
   3. Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$.
2. Für eine ungerade Zahl ${}n$ und eine ganze Zahl ${}k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben ${}\left({\frac {k}{n}}\right)$, wie folgt. Es sei ${}n=p_{1}\cdots p_{r}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$. Dann setzt man

   ${}\left({\frac {k}{n}}\right):=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)\,.$

3. Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch

   ${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

   definiert.

4. Zu ${}f\in L$ nennt man die Determinante der ${}K$-linearen Abbildung

   $\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

   die Norm von ${}f$.

5. Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen Exponenten vorkommt.
6. Man nennt die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von ${}R$ die Klassenzahl von ${}R$.

Zur gelösten Aufgabe