Ellipsoid/Volumen über lineare Verzerrung/Beispiel

Ein achsenparalleles Ellipsoid wird im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch

${}E={\left\{(x,y,z)\mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\leq r^{2}\right\}}\,$

mit ${}a,b,c>0$ beschrieben. Es ist das Bild der Einheitskugel

${}K_{3}={\left\{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\leq 1\right\}}\,$

unter der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {a}}}&0&0\\0&{\frac {r}{\sqrt {b}}}&0\\0&0&{\frac {r}{\sqrt {c}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}},$

also mit ${}x={\frac {r}{\sqrt {a}}}u$, ${}y={\frac {r}{\sqrt {b}}}v$ und ${}z={\frac {r}{\sqrt {c}}}w$. Nach Fakt ist daher das Volumen dieses Ellipsoids gleich

${}\operatorname {vol} \,(E)={\frac {r^{3}}{\sqrt {abc}}}\cdot \operatorname {vol} \,(K_{3})\,.$

Das Volumen der Einheitskugel ist ${}{\frac {4}{3}}\pi$, siehe Beispiel.