Ein achsenparalleles Ellipsoid wird im
durch
-
![{\displaystyle {}E={\left\{(x,y,z)\mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\leq r^{2}\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4432200ff877202fa8d1ea899184e78d778d14)
mit
beschrieben. Es ist das
Bild
der
Einheitskugel
-
![{\displaystyle {}K_{3}={\left\{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\leq 1\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec2e6d161803749c037df682035589f85a1b0dd)
unter der
linearen Abbildung
-
also mit
,
und
.
Nach
Fakt
ist daher das Volumen dieses Ellipsoids gleich
-
![{\displaystyle {}\operatorname {vol} \,(E)={\frac {r^{3}}{\sqrt {abc}}}\cdot \operatorname {vol} \,(K_{3})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a32443a6d421843dd3b8b77173dcedc7bae7fb6)
Das Volumen der Einheitskugel ist
, siehe
Beispiel.