Wir wollen das Volumen einer
-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius
berechnen, also von
-

Wegen
Fakt
gilt dabei
,
d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.
Ihr Volumen bezeichnen wir mit
.
Zur Berechnung gehen wir induktiv vor
(es ist
).
Wir betrachten
-

Für jedes fixierte
,
,
kann man den Querschnitt als

schreiben, d.h. als eine
-dimensionale Kugel vom Radius
. Aufgrund
des Cavalieri-Prinzips
ist daher
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\beta _{n}&=\lambda ^{n}(B_{n}(1))\\&={\left(\lambda ^{n-1}\otimes \lambda ^{1}\right)}(B_{n}(1))\\&=\int _{[-1,1]}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}({\sqrt {1-h^{2}}})\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}\\&=\beta _{n-1}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15844c5ac47254c4c69c5d12bc6adf2faabe52ad)
Dabei können wir das Integral rechts wegen
Fakt
und
Fakt
über
Stammfunktionen
ausrechnen. Die
Substitution
-

liefert
-

Im Beweis zu
Fakt
wurden diese Integrale berechnet; mit
gilt
-

Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift
kann man schließlich mit Hilfe der
Fakultätsfunktion
das Kugelvolumen als
-

schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus
Fakt,
siehe
Aufgabe.