Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel

Wir wollen das Volumen einer ${}n$-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius ${}r$ berechnen, also von

${}B_{n}(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.$

Wegen Fakt gilt dabei ${}\lambda ^{n}(B_{n}(r))=r^{n}\lambda ^{n}(B_{n}(1))$, d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Ihr Volumen bezeichnen wir mit ${}\beta _{n}=\lambda ^{n}(B_{n}(1))$. Zur Berechnung gehen wir induktiv vor (es ist ${}\beta _{1}=2$). Wir betrachten

${}B_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} \,.$

Für jedes fixierte ${}h$, ${}-1\leq h\leq 1$, kann man den Querschnitt als

${}{\begin{aligned}B_{n}(h)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid (x_{1},\ldots ,x_{n-1},h)\in B_{n}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}+h^{2}\leq 1\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq 1-h^{2}\right\}}\\&=B_{n-1}{\left(0,{\sqrt {1-h^{2}}}\right)}\end{aligned}}$

schreiben, d.h. als eine ${}(n-1)$-dimensionale Kugel vom Radius ${}{\sqrt {1-h^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher

${}{\begin{aligned}\beta _{n}&=\lambda ^{n}(B_{n}(1))\\&={\left(\lambda ^{n-1}\otimes \lambda ^{1}\right)}(B_{n}(1))\\&=\int _{[-1,1]}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}({\sqrt {1-h^{2}}})\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}\\&=\beta _{n-1}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}.\end{aligned}}$

Dabei können wir das Integral rechts wegen Fakt und Fakt über Stammfunktionen ausrechnen. Die Substitution

${}h=\sin t\,$

liefert

${}\int _{-1}^{1}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,dh=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}t\,dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt\,.$

Im Beweis zu Fakt wurden diese Integrale berechnet; mit ${}a_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt$ gilt

${}a_{n}={\begin{cases}{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade }}\geq 2\,,\\{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2)\cdots 5\cdot 3}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift ${}\beta _{n}=2\beta _{n-1}a_{n}$ kann man schließlich mit Hilfe der Fakultätsfunktion das Kugelvolumen als

${}\beta _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\operatorname {Fak} \,(n/2)}}\,$

schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus Fakt, siehe Aufgabe.