Wir wollen das Volumen einer
-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius
berechnen, also von
-
![{\displaystyle {}B_{n}(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d312f7f97bedd7162919ae35c2595fd6d591f0bf)
Wegen
Fakt
gilt dabei
,
d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.
Ihr Volumen bezeichnen wir mit
.
Zur Berechnung gehen wir induktiv vor
(es ist
).
Wir betrachten
-
![{\displaystyle {}B_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d070aa8b10cf853298252a022766cb485ef51f58)
Für jedes fixierte
,
,
kann man den Querschnitt als
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}B_{n}(h)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid (x_{1},\ldots ,x_{n-1},h)\in B_{n}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}+h^{2}\leq 1\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq 1-h^{2}\right\}}\\&=B_{n-1}{\left(0,{\sqrt {1-h^{2}}}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03c72a049dc677c0bd36f33a2c0b0e0499edcbb)
schreiben, d.h. als eine
-dimensionale Kugel vom Radius
. Aufgrund
des Cavalieri-Prinzips
ist daher
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\beta _{n}&=\lambda ^{n}(B_{n}(1))\\&={\left(\lambda ^{n-1}\otimes \lambda ^{1}\right)}(B_{n}(1))\\&=\int _{[-1,1]}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}({\sqrt {1-h^{2}}})\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}\\&=\beta _{n-1}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15844c5ac47254c4c69c5d12bc6adf2faabe52ad)
Dabei können wir das Integral rechts wegen
Fakt
und
Fakt
über
Stammfunktionen
ausrechnen. Die
Substitution
-
![{\displaystyle {}h=\sin t\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e92540c6adcbb55ee7a0a3064367156d780ce10)
liefert
-
![{\displaystyle {}\int _{-1}^{1}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,dh=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}t\,dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb19d6e222faf391bd809658bd1bea3b851e5687)
Im Beweis zu
Fakt
wurden diese Integrale berechnet; mit
gilt
-
![{\displaystyle {}a_{n}={\begin{cases}{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade }}\geq 2\,,\\{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2)\cdots 5\cdot 3}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2296967670d4e84a60a273b86cbeceab7ad52780)
Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift
kann man schließlich mit Hilfe der
Fakultätsfunktion
das Kugelvolumen als
-
![{\displaystyle {}\beta _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\operatorname {Fak} \,(n/2)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5964d48ef964e2731fe9f009ab4a43cde78bd514)
schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus
Fakt,
siehe
Aufgabe.