Elliptische Kurve/Absolute Galoisgruppe/Darstellung auf Tate-Modul/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\sigma \colon {\overline {K}}\rightarrow {\overline {K}}$ ein Element der absoluten Galoisgruppe, also ein ${}K$-Algebraautomorphismus. Dieser induziert einen Automorphismus

$E({\overline {K}})\longrightarrow E({\overline {K}}),\,P\longmapsto \sigma (P),$

wobei einfach ${}P=(x,y,z)$ auf ${}\sigma (P)=(\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z))$ abgebildet wird. Dieser Automorphismus ist mit der Addition auf der elliptischen Kurve verträglich, da die Addition durch Polynome aus ${}K$ definiert ist, und somit induziert ${}\sigma$ einen Gruppenautomorphismus auf ${}E[\ell ^{n}]$. Dabei liegen kommutative Diagramme

${\begin{matrix}E[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&E[\ell ^{n}]&\\\!\!\!\!\!\sigma \downarrow &&\downarrow \sigma \!\!\!\!\!&\\E[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}&E[\ell ^{n}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor und somit führt dies zu einem Automorphismus auf dem Tate-Modul. Die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ja jeweils die Automorphismen hintereinandergeschaltet werden.

Zur bewiesenen Aussage