Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Zwei Punkte/O+A/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit ${}F$ homogen vom Grad ${}3$. Bei ${}P_{1}\neq P_{2}$ betrachten wir die projektive Gerade ${}L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ durch die beiden Punkte. Bei ${}P_{1}=P_{2}$ betrachten wir die Tangente

${}L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ an den Punkt. Es wird ${}L$ durch eine Linearform ${}\ell _{1}\neq 0$ beschrieben. Der Weil-Divisor zu dieser Linearform ist ${}(\ell _{1})=P_{1}+P_{2}+P_{3}$, da ja ${}E\cap L$ aus drei Punkten (mit Multiplizitäten) besteht. Die Punkte ${}P_{3},{\mathfrak {O}}$ definieren in der gleichen Weise eine weitere Gerade und eine zugehörige Linearform ${}\ell _{2}$ mit ${}(\ell _{2})=P_{3}+{\mathfrak {O}}+A$. Die Funktion ${}{\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}$ ist eine rationale Funktion auf ${}E$ und definiert den Hauptdivisor

${}{\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)}=P_{1}+P_{2}+P_{3}-{\left(P_{3}+{\mathfrak {O}}+A\right)}=P_{1}+P_{2}-{\mathfrak {O}}-A\,.$

Damit ist ${}P_{1}+P_{2}={\mathfrak {O}}+A$.

Zur bewiesenen Aussage