Elliptische Kurve/C/Kurze Weierstraßform/Differentialform explizit/Rückzug/Beispiel

Wir betrachten die Differentialform

${}\omega =dx/y\,$

aus Beispiel (bis auf den Faktor ${}-1/2$) für ${}K={\mathbb {C} }$ auf der algebraischen Realisierung einer elliptischen Kurve

${}{\mathbb {C} }/\Gamma \cong V_{+}(F)\,$

im Sinne von Fakt. Unter der holomorphen Abbildung

$\pi \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow V_{+}(F)\cap D_{+}(Z),\,z\longmapsto (\wp (z),\wp '(z))=(x,y),$

gilt

${}\pi ^{*}\omega =dz\,,$

da ja ${}\pi ^{*}dx=\wp '(z)dz$ gilt (vergleiche Fakt und Fakt für das Zurückziehen von Differentialformen im reellen Fall).