Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

1. Die holomorphe Abbildung

   ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto \left(\wp (z),\,\wp '(z)\right)$

   lässt sich holomorph zu einer Abbildung

   $\psi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$

   fortsetzen.

2. Dabei ist ${}\psi$ ${}\Gamma$-periodisch und induziert eine holomorphe Abbildung

   $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}.$

3. ${}\varphi$ ist eine bijektive Abbildung zwischen dem komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ und der projektiven glatten kubischen Kurve

   ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

   mit der affinen Gleichung ${}F(x,y)=y^{2}-4x^{3}+g_{2}x+g_{3}$ aus Fakt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen