Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt/Beweis

Beweis

1. In homogenen Koordinaten liegt die Abbildung

   ${\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto \left(\wp (z),\,\wp '(z),\,1\right)$

   vor. Es sei

   ${}U\subseteq {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \,$

   die offene Teilmenge, auf der ${}\wp '$ keine Nullstelle besitzt. Für die affine Karte ${}D_{+}(y)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ ergibt sich die Beschreibung

   $U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(y),\,z\longmapsto \left({\frac {\wp (z)}{\wp '(z)}},\,{\frac {\wp '(z)}{\wp '(z)}},\,{\frac {1}{\wp '(z)}}\right)=\left({\frac {\wp (z)}{\wp '(z)}},\,1,\,{\frac {1}{\wp '(z)}}\right).$

   Da ${}\wp$ in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung ${}2$ und ${}\wp '$ einen Pol der Ordnung ${}3$ besitzt, ist diese Funktion in die Gitterpunkte holomorph fortsetzbar, und zwar mit dem Wert ${}(0,1,0)$.

2. Da ${}\wp$ und ${}\wp '$ elliptische Funktionen sind, ist die Abbildung auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ nach Definition periodisch bezüglich ${}\Gamma$. Wie in (1) gezeigt werden alle Gitterpunkte auf ${}(0,1,0)$ abgebildet, also gilt die ${}\Gamma$-Periodizität auf ganz ${}{\mathbb {C} }$. Daher induziert dies eine stetige Abbildung

   ${\mathbb {C} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2},$

   und diese ist holomorph, da

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$

   eine Überlagerung ist, siehe Fakt, und sich die Holomorphie von ${}\psi$ auf ${}\varphi$ überträgt.

3. Nach Fakt erfüllen ${}\wp$ und ${}\wp '$ die affine kubische Relation

   ${}(\wp ')^{2}=g(\wp )=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}\,,$

   daher erfüllt das Bild von ${}\psi$ die entsprechende homogene kubische Gleichung. Die Glattheit der Kurve wurde in Bemerkung festgestellt. Zur Bijektivität. Der einzige Punkt der Kurve außerhalb von ${}D_{+}(w)$ ist ${}(0,1,0)$ und dieser entspricht den Gitterpunkten. Wir können uns also auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \Gamma$ und ${}D_{+}(w)$ konzentrieren. Zur Injektivität. Aus ${}\wp (z_{1})=\wp (z_{2})$ folgt nach Fakt, dass ${}z_{2}=\pm z_{1}$ ist, und aus ${}\wp '(z_{1})=\wp '(-z_{1})=-\wp '(z_{1})$ folgt, dass ${}z_{1}$ eine Nullstelle von ${}\wp '$ ist. Diese sind nach Aufgabe gleich ${}v_{1}/2,v_{2}/2,(v_{1}+v_{2})/2$, wobei ${}v_{1},v_{2}$ Gittererzeuger seien. Diese Elemente stimmen aber modulo ${}\Gamma$ mit ihrem Negativen überein.

   Zur Surjektivität. Sei ${}(x,y)\in V(y^{2}-g(x))\subseteq D_{+}(w)$ vorgegeben. Nach Fakt gibt es ${}z\notin \Gamma$ mit ${}\wp (z)=x=\wp (-z)$. Dabei ist ${}\wp '(\pm z)^{2}=g(\wp (\pm z))=g(x)$. Da ${}\wp '$ ungerade ist, ist ${}\wp '(z)=y$ oder ${}\wp '(-z)=y$.

Zur bewiesenen Aussage