Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt/Beweis

Beweis
  1. In homogenen Koordinaten liegt die Abbildung

    vor. Es sei

    die offene Teilmenge, auf der keine Nullstelle besitzt. Für die affine Karte ergibt sich die Beschreibung

    Da in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung und einen Pol der Ordnung besitzt, ist diese Funktion in die Gitterpunkte holomorph fortsetzbar, und zwar mit dem Wert .

  2. Da und elliptische Funktionen sind, ist die Abbildung auf nach Definition periodisch bezüglich . Wie in (1) gezeigt werden alle Gitterpunkte auf abgebildet, also gilt die -Periodizität auf ganz . Daher induziert dies eine stetige Abbildung

    und diese ist holomorph, da

    eine Überlagerung ist, siehe Fakt, und sich die Holomorphie von auf überträgt.

  3. Nach Fakt erfüllen und die affine kubische Relation

    daher erfüllt das Bild von die entsprechende homogene kubische Gleichung. Die Glattheit der Kurve wurde in Bemerkung festgestellt. Zur Bijektivität. Der einzige Punkt der Kurve außerhalb von ist und dieser entspricht den Gitterpunkten. Wir können uns also auf und konzentrieren. Zur Injektivität. Aus folgt nach Fakt, dass ist, und aus folgt, dass eine Nullstelle von ist. Diese sind nach Aufgabe gleich , wobei Gittererzeuger seien. Diese Elemente stimmen aber modulo mit ihrem Negativen überein.

    Zur Surjektivität. Sei vorgegeben. Nach Fakt gibt es mit . Dabei ist . Da ungerade ist, ist oder .