Elliptische Kurve/Differentialform/Summe von Morphismen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ${}\varphi _{1}+\varphi _{2}$ ist die zusammengesetzte Abbildung

$E{\stackrel {\varphi _{1},\varphi _{2}}{\longrightarrow }}E\times E{\stackrel {+}{\longrightarrow }}E,$

wir können damit den Rückzug einer Differentialform berechnen, wobei jede Differentialform ein skalares Vielfaches von ${}{\frac {dx}{y}}$ ist. Nach Fakt ist

${}+^{*}\left({\frac {dx}{y}}\right)={\frac {dx_{1}}{y_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\,.$

Wenn ${}\pi _{1},\pi _{2}$ die Projektionen bezeichnen, so ergibt sich

${}{\begin{aligned}\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left({\frac {dx_{1}}{y_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\right)}&=\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left({\frac {dx_{1}}{y_{1}}}\right)}+\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left({\frac {dx_{2}}{y_{2}}}\right)}\\&=\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left(\pi _{1}^{*}{\frac {dx}{y}}\right)}+\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2}\right)^{*}{\left(\pi _{2}^{*}{\frac {dx}{y}}\right)}\\&=\varphi _{1}^{*}{\frac {dx}{y}}+\varphi _{2}^{*}{\frac {dx}{y}}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage