Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}F^{e}$ der ${}e$-te absolute Frobenius ${}F^{e}\colon E\rightarrow E$ und

$\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$

der zugehörige ${}{\overline {K}}$-lineare Frobenius. Nach Fakt ist

${}{\#\left(E(K)\right)}=\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi )\,.$

Nach Fakt ist die Gradabbildung auf dem Endomorphismenring eine positiv definite quadratische Form. Da die Identität den Grad ${}1$ und ${}\Phi$ nach Fakt den Grad ${}q$ besitzt, gilt mit Fakt die Abschätzung

${}{\left(\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi ))-1-q\right)}^{2}\leq 4\cdot 1\cdot q\,.$

Wurzelziehen ergibt die Aussage.

Zur bewiesenen Aussage