Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Torsion und Frobenius/Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper ${}K={\mathbb {F} }_{q}$ mit ${}q=p^{e}$ Elementen und es sei

$\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$

der ${}e$-te ${}{\overline {K}}$-lineare Frobenius.

1. Zeige, dass es zu jedem ${}r\in \mathbb {N}$ ein ${}s\in \mathbb {N}$ gibt mit

   ${}\operatorname {Tor} _{r}{\left(E({\overline {K}})\right)}\subseteq \operatorname {kern} \left(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi ^{s}\right)\,.$

2. Zeige, dass es zu jedem ${}s\in \mathbb {N}$ ein ${}r\in \mathbb {N}$ gibt mit

   ${}\operatorname {kern} \left(\operatorname {Id} _{E_{\overline {K}}}-\Phi ^{s}\right)\subseteq \operatorname {Tor} _{r}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$

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