Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Distributivität/Aufgabe/Lösung

Es seien

\varphi ,\psi _{1},\psi _{2}\colon E\longrightarrow E

Isogenien und ${}P\in E$ . Wegen Fakt ist ${}\varphi$ mit der Addition auf der Kurve verträglich, daher ist

{}{\begin{aligned}{\left(\varphi \circ (\psi _{1}+\psi _{2})\right)}(P)&=\varphi (\psi _{1}(P)+\psi _{2}(P))\\&=\varphi (\psi _{1}(P))+\varphi (\psi _{2}(P))\\&={\left(\varphi \circ \psi _{1}\right)}(P)+{\left(\varphi \circ \psi _{2}\right)}(P).\end{aligned}}

Die umgekehrte Reihenfolge ergibt sich direkt mit

{}{\begin{aligned}{\left((\psi _{1}+\psi _{2})\circ \varphi \right)}(P)&=(\psi _{1}+\psi _{2})(\varphi (P))\\&=\psi _{1}(\varphi (P))+\psi _{2}(\varphi (P))\\&={\left(\psi _{1}\circ \varphi \right)}(P)+{\left(\psi _{2}\circ \varphi \right)}(P)\\&={\left(\psi _{1}\circ \varphi +\psi _{2}\circ \varphi \right)}(P).\end{aligned}}