Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten den Ausdruck ${}\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}$, wobei

${}N_{r}={\#\left(E({\mathbb {F} }_{q^{r}})\right)}\,$

bezeichne. Nach Fakt  (5) wissen wir

${}N_{r}=1+q^{r}-\alpha ^{r}-\beta ^{r}\,,$

wobei ${}\alpha$ und ${}\beta$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu ${}\Phi _{\ell }$ sind (für eine zur Charakteristik teilerfremde Primzahl ${}\ell$). Es ist also

${}{\begin{aligned}\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}&=\sum _{r=1}^{\infty }{\left(1+q^{r}-\alpha ^{r}-\beta ^{r}\right)}{\frac {t^{r}}{r}}\\&=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {t^{r}}{r}}+\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {(qt)^{r}}{r}}-\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{r}}{r}}-\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {(\beta t)^{r}}{r}}\\&=-\ln \left(1-t\right)-\ln \left(1-qt\right)+\ln \left(1-\alpha t\right)+\ln \left(1-\beta t\right),\end{aligned}}$

wobei wir die Logarithmusreihe verwendet haben. Wenn wir auf diese Gleichung die Exponentialreihe anwenden, so erhalten wir

${}{\begin{aligned}Z(E;t)&=\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha t)(1-\beta t)}{(1-t)(1-qt)}}\\&={\frac {(1-(\alpha +\beta )t+\alpha \beta t^{2}}{(1-t)(1-qt)}}\\&={\frac {(1+(N_{1}-q-1)t+qt^{2}}{(1-t)(1-qt)}},\end{aligned}}$

wobei wir im letzten Schritt die definierenden Eigenschaften von ${}\alpha$ und ${}\beta$ und Fakt  (1) verwendet haben.

Zur bewiesenen Aussage