Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, mit ${}N_{1}={\#\left(E({\mathbb {F} }_{q})\right)}$ und es sei ${}\ell$ eine von der Charakteristik von ${}{\mathbb {F} }_{q}$ verschiedene Primzahl. Es sei

$\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$

der ${}e$-te ${}{\overline {K}}$-lineare Frobenius auf ${}E_{\overline {K}}$ und ${}\Phi _{\ell }\colon T_{\ell }(E)\rightarrow T_{\ell }(E)$ die zugehörige Abbildung auf dem ${}\ell$-adischen Tate-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das charakteristische Polynom von ${}\Phi _{\ell }$ ist

   $T^{2}-(q+1-N_{1})T+q.$

2. Dieses Polynom ist als reelles Polynom nichtnegativ.
3. Die komplexen Nullstellen ${}\alpha$ und ${}\beta$ des charakteristischen Polynoms sind zueinander komplex-konjugiert und ihr Betrag ist ${}{\sqrt {q}}$.
4. Das charakteristische Polynom von ${}\Phi _{\ell }^{n}$ ist

   ${}(T-\alpha ^{n})(T-\beta ^{n})=T^{2}-(\alpha ^{n}+\beta ^{n})T+\alpha ^{n}\beta ^{n}\,.$

5. Die Anzahl der Punkte von ${}E$ über ${}{\mathbb {F} }_{q^{n}}$ ist

   ${}{\#\left(E({\mathbb {F} }_{q^{n}})\right)}=q^{n}+1-\alpha ^{n}-\beta ^{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen