Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Wir ziehen Fakt heran. Es ist

    nach Fakt. Es ist

    unter Verwendung von Fakt. Daraus ergibt sich das charakteristische Polynom von zu

  2. Die Nichtnegativität des Polynoms kann man wegen der Stetigkeit mit rationalen Zahlen testen. Es sei also eine rationale Zahl. Der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ist
  3. Nach (2) besitzt das charakteristische Polynom entweder eine doppelte reelle Nullstelle oder zwei nicht reelle zueinander komplex-konjugierte Nullstellen. So oder so ist ihr Betrag gleich, und wegen

    ergibt sich .

  4. Das charakteristische Polynom zu kann man über als schreiben. Eine solche Zerlegung hat man auch über dem algebraischen Abschluss von

    (bzw. schon in einer quadratischen Erweiterung von ). Dabei sind (genauer ) die Eigenwerte von . Somit sind die Eigenwerte von und das charakteristische Polynom zu ist . Die entstehenden Polynome haben wieder ganzzahlige Koeffizienten, daher ist es egal, ob man über oder über arbeitet.

  5. Die Anzahl der Punkte von über ist unter Verwendung von Fakt und Fakt gleich