Elliptische Kurve/Isogenie/Tate-Modul/Determinante/Fakt

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem Körper ${}K$, es sei

$\varphi \colon E\longrightarrow E$

eine Isogenie und es sei ${}\ell$ eine von der Charakteristik von ${}K$ verschiedene Primzahl. Es sei

$\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E)\longrightarrow T_{\ell }(E)$

die induzierte ${}\mathbb {Z} _{\ell }$-lineare Abbildung auf dem ${}\ell$-adischen Tate-Modul. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}\det \left(\varphi _{\ell }\right)=\operatorname {Grad} \,(\varphi )\,.$

2. Es ist

   ${}\operatorname {Spur} {\left(\varphi _{\ell }\right)}=1+\operatorname {Grad} \,(\varphi )-\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E}-\varphi )\,.$

3. Das charakteristische Polynom von ${}\varphi _{\ell }$ ist

   $T^{2}-(1+\operatorname {Grad} \,(\varphi )-\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E}-\varphi ))T+\operatorname {Grad} \,(\varphi ).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen