Elliptische Kurve/Funktionenkörper/Erweiterung über X/Grad/Fakt/Beweis

Beweis

Die zugehörige Abbildung der Funktionenkörper ist durch

$\vartheta \colon Q(E_{2})=K(U)[V]/{\left(V^{2}-U^{3}-cU-d\right)}\longrightarrow Q(E_{1})=K(X)[Y]/{\left(Y^{2}-X^{3}-aX-b\right)}$

mit ${}U\mapsto f(X)$ und ${}V\mapsto q(X)Y$ gegeben. Nach Definition ist der Grad der Kurvenabbildung der Grad dieser Körpererweiterung. Es liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}K(U)&{\stackrel {U\mapsto f}{\longrightarrow }}&K(X)&\\\downarrow &&\downarrow &\\K(U)[V]/{\left(V^{2}-U^{3}-cU-d\right)}&{\stackrel {\vartheta }{\longrightarrow }}&K(X)[Y]/{\left(Y^{2}-X^{3}-aX-b\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei die vertikalen Einbettungen den Grad ${}2$ haben. Aufgrund der Gradformel genügt es, den Grad der oberen Körpererweiterung zu bestimmen. Dieser ist das behauptete Maximum nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage