Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Rangcharakterisierung/Fakt

Rangcharakterisierung kongruenter Zahlen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}E$ die durch ${}y^{2}=x^{3}-n^{2}x$ gegebene elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$.

Dann ist ${}n$ genau dann eine kongruente Zahl, wenn der Rang von ${}E(\mathbb {Q} )$ zumindest ${}1$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen