Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Rangcharakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}n$ eine kongruente Zahl. Nach Fakt gibt es einen Punkt auf ${}E(\mathbb {Q} )$, für den die zweite Koordinate definitiv nicht ${}0$ ist. Nach Fakt ist es daher kein Torsionspunkt der Ordnung ${}2$ und nach Fakt kann es sich dabei überhaupt nicht um einen Torsionspunkt der Kurve handeln. Es ist also ein torsionsfreier Punkt und damit ist der Rang zumindest ${}1$.

Wenn ${}E(\mathbb {Q} )$ keine Torsionsgruppe ist, so gibt es insbesondere einen Punkt ${}P\in E(\mathbb {Q} )$ mit ${}2P\neq {\mathfrak {O}}$. Nach Fakt bedeutet dies, dass ${}n$ eine kongruente Zahl ist.

Zur bewiesenen Aussage