Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$ mit der affinen Gleichung ${}y^{2}=h(x)$ mit einem kubischen Polynom ${}h(x)$ ohne mehrfache Nullstelle.

Dann sind die Punkte der Ordnung ${}2$ die Punkte ${}(a,0,1)$, wobei ${}a$ die Nullstellen von ${}h$ durchläuft. Insbesondere ist

${}{\#\left(\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq 4\,.$

Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(K)\right)}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen