Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt/Beweis

Beweis

Die Bedingung

${}P+P={\mathfrak {O}}=(0,1,0)\,$

bedeutet, dass die Tangente durch ${}P$ durch ${}{\mathfrak {O}}$ verläuft. Die Geraden durch ${}{\mathfrak {O}}$ sind neben der unendlich fernen Geraden durch die affinen Gleichungen ${}X=c$ mit einem ${}c\in K$ gegeben. Die (Richtung der) Tangente zu ${}(a,b)$ ist nach Bemerkung als Kern von ${}\left(h'(a),\,2b\right)$ gegeben, also durch die Gleichung ${}h'(a)X-2bY=0$. Übereinstimmung gibt es bei ${}b=0$, was wegen der Kurvengleichung erfordert, dass ${}a$ eine Nullstelle von ${}h$ ist.

Zur bewiesenen Aussage