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Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Addition/Ganzheitsgleichung für alpha/Aufgabe/Lösung
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Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Addition/Ganzheitsgleichung für alpha/Aufgabe
Das ist klar, da die Algebraerzeuger
y
1
{\displaystyle {}y_{1}}
und
y
2
{\displaystyle {}y_{2}}
unmittelbar eine Ganzheitsgleichung erfüllen.
Es ist
(
y
2
−
y
1
)
2
=
y
2
2
+
y
1
2
−
2
y
1
y
2
=
x
1
3
+
a
x
1
+
b
+
x
2
3
+
a
x
2
+
b
−
2
y
1
y
2
.
{\displaystyle {}(y_{2}-y_{1})^{2}=y_{2}^{2}+y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}=x_{1}^{3}+ax_{1}+b+x_{2}^{3}+ax_{2}+b-2y_{1}y_{2}\,.}
Daher ist
(
y
2
−
y
1
)
2
−
(
x
1
3
+
x
2
3
+
a
(
x
1
+
x
2
)
+
2
b
)
=
−
2
y
1
y
2
{\displaystyle {}(y_{2}-y_{1})^{2}-{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}=-2y_{1}y_{2}\,}
und somit ist
4
y
1
2
y
2
2
=
4
(
x
1
3
+
a
x
1
+
b
)
(
x
2
3
+
a
x
2
+
b
)
=
(
y
2
−
y
1
)
4
−
2
(
x
1
3
+
x
2
3
+
a
(
x
1
+
x
2
)
+
2
b
)
(
y
2
−
y
1
)
2
+
(
x
1
3
+
x
2
3
+
a
(
x
1
+
x
2
)
+
2
b
)
2
=
(
(
y
2
−
y
1
)
2
−
(
x
1
3
+
x
2
3
+
a
(
x
1
+
x
2
)
+
2
b
)
)
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}4y_{1}^{2}y_{2}^{2}&=4{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}{\left(x_{2}^{3}+ax_{2}+b\right)}\\&=(y_{2}-y_{1})^{4}-2{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}(y_{2}-y_{1})^{2}+{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}^{2}\\&={\left((y_{2}-y_{1})^{2}-{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}\right)}^{2}.\end{aligned}}}
Also liegt die Ganzheitsgleichung
(
y
2
−
y
1
)
4
−
2
(
x
1
3
+
x
2
3
+
a
(
x
1
+
x
2
)
+
2
b
)
(
y
2
−
y
1
)
2
+
(
x
1
3
+
x
2
3
+
a
(
x
1
+
x
2
)
+
2
b
)
2
−
4
(
x
1
3
+
a
x
1
+
b
)
(
x
2
3
+
a
x
2
+
b
)
=
0
{\displaystyle {}(y_{2}-y_{1})^{4}-2{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}(y_{2}-y_{1})^{2}+{\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+a(x_{1}+x_{2})+2b\right)}^{2}-4{\left(x_{1}^{3}+ax_{1}+b\right)}{\left(x_{2}^{3}+ax_{2}+b\right)}=0\,}
vor.
Das ergibt sich aus Teil (2), indem man durch
(
x
2
−
1
)
4
{\displaystyle {}(x_{2}-1)^{4}}
teilt.
Zur gelösten Aufgabe
