Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Addition/Ganzheitsgleichung für alpha/Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ mit kurzer Weierstraßgleichung ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$. Wir betrachten den Ring

${}S=K[x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(y_{1}^{2}-x_{1}^{3}-ax_{1}-b,y_{2}^{2}-x_{2}^{3}-ax_{2}-b)\,,$

in dem man die Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve mit rationalen Funktionen formulieren kann, siehe Fakt.

1. Zeige, dass eine endliche Erweiterung ${}K[x_{1},x_{2}]\subseteq S$ vorliegt.
2. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für ${}y_{2}-y_{1}$ über ${}K[x_{1},x_{2}]$.
3. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für ${}{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ über ${}K(x_{1},x_{2})$.

vor.

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