Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Ableitungseigenschaft/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach ${}m$, der Fall ${}m=2$ wird in Aufgabe behandelt. Es ist

${}{\begin{aligned}f_{m+1}'&=\left({\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}\right)'-1-f'_{m}\\&=-2{\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)(f_{m}-x)'}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {((q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b))'}{(f_{m}-x)^{2}}}-mq_{m}-1\\&=-2{\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)(mq_{m}-1)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)^{2}(3x^{2}+a)+2q_{m}'(q_{m}-1)(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}-mq_{m}-1.\end{aligned}}$

Aus

${}q_{m}^{2}(x^{3}+ax+b)=f_{m}^{3}+af_{m}+b\,$

erhält man

${}2q_{m}q_{m}'(x^{3}+ax+b)+q_{m}^{2}(3x^{2}+a)=(3f_{m}^{2}+a)f_{m}'\,$

bzw.

${}2q_{m}'(x^{3}+ax+b)={\frac {(3f_{m}^{2}+a)f_{m}'-q_{m}^{2}(3x^{2}+a)}{q_{m}}}=m(3f_{m}^{2}+a)-q_{m}(3x^{2}+a)\,.$

Dies eingesetzt ergibt

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,-2{\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)(mq_{m}-1)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)^{2}(3x^{2}+a)+{\left(m(3f_{m}^{2}+a)-q_{m}(3x^{2}+a)\right)}(q_{m}-1)}{(f_{m}-x)^{2}}}-mq_{m}-1\\&=-2{\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)(mq_{m}-1)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1){\left(-(3x^{2}+a)+m(3f_{m}^{2}+a)\right)}}{(f_{m}-x)^{2}}}-mq_{m}-1\,\end{aligned}}$

${}q_{m+1}=-{\frac {(q_{m}-1)^{3}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1\,,$

Zur gelösten Aufgabe