Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Fakt

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ mit kurzer Weierstraßgleichung ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$. Es sei

${}f_{2}={\frac {9x^{4}+6ax^{2}+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}-2x\,,$

${}q_{2}=-{\frac {(3x^{2}+a)^{3}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}+{\frac {3x(3x^{2}+a)}{2(x^{3}+ax+b)}}-1\,$

und wir definieren rekursiv

${}f_{m+1}={\frac {(q_{m}-1)^{2}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{2}}}-x-f_{m}\,$

und

$q_{m+1}=-{\frac {(q_{m}-1)^{3}(x^{3}+ax+b)}{(f_{m}-x)^{3}}}+{\frac {(q_{m}-1)}{f_{m}-x}}(2x+f_{m})-1\,,$

wobei es sich um rationale Funktionen in der einen Variablen ${}x$ handelt.

Dann wird die ${}m$-te Vervielfachung eines Punktes ${}(x,y)$ auf ${}E$ durch die rationalen Ausdrücke

${}m(x,y)=\left(f_{m},\,q_{m}y\right)\,$

beschrieben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen