Elliptische Kurve/Zahlkörper/Reell zwei Komponenten/Gruppenkomponente/Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper ${}K$, gegeben durch eine Gleichung

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

mit ${}\lambda _{i}\in K$. Es sei eine reelle Einbettung ${}K\subseteq \mathbb {R}$ fixiert und es sei ${}E(\mathbb {R} )=S^{1}\uplus S^{1}$ die zugehörige reelle Kurve, vergleiche Aufgabe. Zeige, dass der Durchschnitt

${}E(K)_{0}:=E(K)\cap S^{1}\,$

mit derjenigen Komponente, die das neutrale Element ${}{\mathfrak {O}}$ enthält, eine Untergruppe von ${}E(K)$ ist und dass eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,E(K)_{0}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,E(K)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(2)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt.

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