Elliptische Kurve/Zerlegungsform/Projektion/Verzweigung/Aufgabe/Lösung


Die Abbildung besitzt den Grad und wird projektiv durch

gegeben, in homogenen Koordinaten geht es um die vier Punkte . Wir verwenden Fakt und müssen lediglich zeigen, dass genau in den angegebenen Punkten die Fasern nur aus einem Punkt bestehen. Es wird

auf abgebildet (die Koordinantenbeschreibung ist etwas verwirrend, die rationale Funktion hat jedenfalls in einen Pol) und dies ist der einzige Urbildpunkt, da nur aus besteht. Für die anderen Punkte können wir allein im Affinen arbeiten. Für

ist das kubische Polynom gleich und daher gibt es für nur die Möglichkeit

In diesen Punkten liegt also Verzweigung vor. Für

ist der Wert des kubischen Polynoms und es gibt die beiden verschiedenen Urbildpunkte und somit liegt dort keine Verzweigung vor.