Elliptische Kurven/Morphismus/Rechnungen/Fakt

Es seien ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$. Es sei

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

die Gleichung von ${}E_{1}$ und

${}v^{2}=u^{3}+cu+d\,$

die Gleichung von ${}E_{2}$.

Dann ist durch

${}u=\varphi (x,y)=f(x)+g(x)y\,$

und

${}v=\psi (x,y)=p(x)+q(x)y\,$

mit ${}f,g,p,q\in K(x)$ genau dann ein Morphismus

$E_{1}\longrightarrow E_{2}$

gegeben, wenn

${}p^{2}+q^{2}{\left(x^{3}+ax+b\right)}=f^{3}+cf+3fg^{2}(x^{3}+ax+b)+d\,$

und

${}2pq=g^{3}{\left(x^{3}+ax+b\right)}+3f^{2}g+cg\,$

gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen