Elliptische Kurven/Morphismus/Rechnungen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Bedingung für einem Morphismus ist

${}\psi ^{2}=\varphi ^{3}+c\varphi +d\,,$

also

${}(p+qy)^{2}=(f+gy)^{3}+c(f+gy)+d\,.$

Dabei ist

${}{\begin{aligned}(p+qy)^{2}&=p^{2}+q^{2}y^{2}+2pqy\\&=p^{2}+q^{2}{\left(x^{3}+xa+b\right)}+2pqy\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}(f+gy)^{3}+c(f+gy)+d&=f^{3}+3f^{2}gy+3fg^{2}y^{2}+g^{3}y^{3}+cf+d+cgy\\&=f^{3}+3fg^{2}{\left(x^{3}+ax+b\right)}+cf+d+{\left(3f^{2}g+g^{3}{\left(x^{3}+ax+b\right)}+cg\right)}y.\,\end{aligned}}$

Das Resultat folgt mit Koeffizientenvergleich.

Zur bewiesenen Aussage