Endlichdimensionaler Vektorraum/Dualbasis/Definition/Erläuterungen/Bemerkung

Wegen Fakt ist durch die Vorschrift in der Tat jeweils eine Linearform festgelegt. Die Linearform ${}v_{i}^{*}$ ordnet einem beliebigen Vektor ${}v\in V$ die ${}i$-te Koordinate von ${}v$ bezüglich der gegebenen Basis zu. Zu ${}v=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}$ ist ja

${}v_{i}^{*}(v)=v_{i}^{*}{\left(\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{i}^{*}(v_{j})=s_{i}\,.$

Es ist wichtig zu betonen, dass ${}v_{i}^{*}$ nicht nur von dem Vektor ${}v_{i}$, sondern von der gesamten Basis abhängt. Es gibt keinen „dualen Vektor“ zu einem Vektor. Dies sieht beispielsweise anders aus, wenn auf ${}V$ ein Skalarprodukt gegeben ist.