Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/1/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen

${}\varphi -\delta \operatorname {Id} ={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}+(\lambda -\delta )\operatorname {Id} \,$

können wir annehmen, dass ein Eigenwert, sagen wir ${}\delta$, gleich ${}0$ ist. Es sei

${}\operatorname {Haupt} _{0}(\varphi )=\operatorname {kern} \varphi ^{r}\,.$

Nach Fakt ist

${}V=U\oplus W\,$

mit den ${}\varphi$-invarianten Unterräumen

${}U=\operatorname {Haupt} _{0}(\varphi )=\operatorname {kern} \varphi ^{r}\,$

und

${}W=\operatorname {bild} \varphi ^{r}\,.$

Auf ${}U$ ist ${}\varphi$ nilpotent und lässt sich daher in einer geeigneten Basis von ${}U$ durch eine obere Dreiecksmatrix beschreiben, bei der die Diagonaleinträge ${}0$ sind. In dieser Basis wird

${\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}{|}_{U}$

durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben, bei der die Diagonaleinträge konstant gleich ${}-\lambda \neq 0$ sind. Diese Einschränkung ist also bijektiv und daher ist

${}U\cap \operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}=0\,$

für alle ${}n$.

Zur bewiesenen Aussage

[[Kategorie:Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/1/Fakt/Beweise]] [[Kategorie:Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/1/Fakt/Beweise]] [[Kategorie:Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/1/Fakt/Beweise]]