Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es ein ${}r\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass es eine direkte Summenzerlegung

${}V=U\oplus W\,$

mit

${}U=\operatorname {kern} \varphi ^{r}\,$

und

${}W=\operatorname {bild} \varphi ^{r}\,.$

Diese Unterräume sind ${}\varphi$-invariant.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen