Lineare Abbildung

Definition: Lineare AbbildungBearbeiten

Seien   und   Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper  . Eine Abbildung   heißt lineare Abbildung, wenn für alle   und   die folgenden Bedingungen gelten:

  •   ist homogen:
     
  •   ist additiv:
     

Alternative Definition Lin. Abb.Bearbeiten

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:

 
  • Für   liefert diese die Bedingung für die Homogenität und
  • für   in Eigenschaft für die Additivität.

Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung   ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume   und   ist.

ÜbungBearbeiten

Seien   zwei  -Vektorräume und   eine Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgende Äquivalenz gilt:

 

  • Zeit: 10min
  • Formale Schreibweise - Hinweise - Beweistypen

Beispiele 1Bearbeiten

Für   hat jede lineare Abbildung die Gestalt   mit  . In der Schule werden lineare Funktionen behandelt. Dort bezeichnet man in der Regel Funktionen   der Form   mit   als linear. Solche affinelineare Abbildungen sind aber nur für   tatsächlich lineare Abbildungen: Für   und   ist   und die Linearitätseigenschaften ist nicht erfüllt:

 .

Beispiele 2Bearbeiten

Es sei   und  . Dann wird für jede  -Matrix   mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung

  durch
 

definiert. Jede lineare Abbildung von   nach   kann so dargestellt werden.

Beispiele 3Bearbeiten

  • Ist   ein offenes Intervall,   der  -Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf   und
  •   der  -Vektorraum der stetigen Funktionen auf  , so ist die Abbildung
 ,  ,

die jeder Funktion   ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere lineare Differentialoperatoren.

BildBearbeiten

Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung  .

  • Das Bild   der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter  , also die Menge aller   mit   aus  . Die Bildmenge wird daher auch durch   notiert.
  • Das Bild ist ein Untervektorraum von  .

KernBearbeiten

  • Der Kern   der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus  , die durch   auf den Nullvektor von   abgebildet werden.
  • Der Kern ist ein Untervektorraum von  . Die Abbildung   ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.

Klassifizierung von linearen AbbildungenBearbeiten

Lineare Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) können wie folgt klassifziert werden:

  • Monomorphismus: Injektive lineare Abbildung
  • Epimorphismus: Surjektive lineare Abbildung
  • Isomorphismus: Bijektive lineare Abbildung
  • Endomorphismus: Lineare Selbstabbildung
  • Automorphismus: Bijektive lineare Selbstabbildung

Monomorphismus: InjektivitätBearbeiten

Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung  , die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.

Epimorphismus: SurjektivitätBearbeiten

Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung  , die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von   ist.

Isomorphismus: BijektivitätBearbeiten

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung  , die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume   und   bezeichnet man dann als isomorph.

Endomorphismus: Lineare SelbstabbildungBearbeiten

Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume   und   gleich sind:  . Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.

Automorphismus: Bijektive lineare SelbstabbildungBearbeiten

Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume   und   gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

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