Lineare Abbildung

Definition: Lineare Abbildung

Seien $V$ und $W$ Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper $\mathbb {K}$. Eine Abbildung $f\colon V\to W$ heißt lineare Abbildung, wenn für alle $x,y\in V$ und $\lambda \in \mathbb {K}$ die folgenden Bedingungen gelten:

• $f$ ist homogen:

  $f\left(\lambda \cdot x\right)=\lambda \cdot f\left(x\right)$

• $f$ ist additiv:

  $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

Alternative Definition Lin. Abb.

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:

$f\left(\lambda \cdot x+y\right)=\lambda \cdot f\left(x\right)+f\left(y\right)$

• Für $y=0_{V}\in V$ liefert diese die Bedingung für die Homogenität und
• für $\lambda =1\in \mathbb {K}$ in Eigenschaft für die Additivität.

Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung $f$ ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume $V$ und $W$ ist.

Übung

Seien $V,W$ zwei $\mathbb {K}$-Vektorräume und $f:V\rightarrow W$ eine Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgende Äquivalenz gilt:

$f{\mbox{ linear }}\Longleftrightarrow$

$\qquad \forall _{x,y\in V,\lambda \in \mathbb {K} }\ :\ f\left(\lambda \cdot x+y\right)=\lambda \cdot f\left(x\right)+f\left(y\right)$

• Zeit: 10min
• Formale Schreibweise - Hinweise - Beweistypen

Beispiele 1

Für $V=W=\mathbb {R}$ hat jede lineare Abbildung die Gestalt $f(x)=mx$ mit $m\in \mathbb {R}$. In der Schule werden lineare Funktionen behandelt. Dort bezeichnet man in der Regel Funktionen $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ der Form $f(x)=mx+b$ mit $m,b\in \mathbb {R}$ als linear. Solche affinelineare Abbildungen sind aber nur für $b=0$ tatsächlich lineare Abbildungen: Für $m=1$ und $b=3$ ist $f(x)=x+3$ und die Linearitätseigenschaften ist nicht erfüllt:

$f(2x)=2x+3\neq 2x+6=2f(x)$.

Beispiele 2

Es sei $V=\mathbb {R} ^{n}$ und $W=\mathbb {R} ^{m}$. Dann wird für jede $m\times n$-Matrix $A$ mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ durch

$f(x)=A\,x={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

definiert. Jede lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{m}$ kann so dargestellt werden.

Beispiele 3

• Ist $I\subset \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $V=C^{1}(I,\mathbb {R} )$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf $I$ und
• $W=C^{0}(I,\mathbb {R} )$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum der stetigen Funktionen auf $I$, so ist die Abbildung

$D\colon C^{1}(I,\mathbb {R} )\to C^{0}(I,\mathbb {R} )$, $f\mapsto f'$,

die jeder Funktion $f\in C^{1}(I,\mathbb {R} )$ ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere lineare Differentialoperatoren.

Beispiele 4

• Ist $I:=[a,b]\subset \mathbb {R}$ ein abgeschlossene Intervall, $V=C([a,b],\mathbb {R} )$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum der stetigen Funktionen auf $I$ und
• $\mu (f):=\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx$ das Riemannintegral für $f\in C([a,b],\mathbb {R} )$.

Zeigen Sie, dass $\mu :V\to \mathbb {R}$ eine lineare Abbildung ist.

Bild

Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung $f\colon V\to W$.

• Das Bild $\mathrm {im} (f)$ der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter $f$, also die Menge aller $f(v)$ mit $v$ aus $V$. Die Bildmenge wird daher auch durch $f(V)$ notiert.
• Das Bild ist ein Untervektorraum von $W$.

Kern

• Der Kern $\mathrm {Ker} (f)$ der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus $V$, die durch $f$ auf den Nullvektor von $W$ abgebildet werden.
• Der Kern ist ein Untervektorraum von $V$. Die Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.

Klassifizierung von linearen Abbildungen

Lineare Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) können wie folgt klassifziert werden:

• Monomorphismus: Injektive lineare Abbildung
• Epimorphismus: Surjektive lineare Abbildung
• Isomorphismus: Bijektive lineare Abbildung
• Endomorphismus: Lineare Selbstabbildung
• Automorphismus: Bijektive lineare Selbstabbildung

Monomorphismus: Injektivität

Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.

Epimorphismus: Surjektivität

Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von $W$ ist.

Isomorphismus: Bijektivität

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume $V$ und $W$ bezeichnet man dann als isomorph.

Endomorphismus: Lineare Selbstabbildung

Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind: $f\colon V\to V$. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.

Automorphismus: Bijektive lineare Selbstabbildung

Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

Folgenräume

Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert mit $a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $b:=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $c:=(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus $V:=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ wie folgt definiert:

$+:V\times V\to V$ mit $(a,b)\mapsto a+b:=c$ und $c_{n}:=a_{n}+b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

$\cdot :\mathbb {K} \times V\to V$ mit $(\lambda ,a)\mapsto \lambda \cdot a:=c$ und $c_{n}:=\lambda \cdot a_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Absolute konvergente Reihen

Man betrachtet nun die folgende Teilmenge von $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

$\quad \ell ^{1}(\mathbb {C} ):=\left\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \right\}$

und die Abbildung:

$f:\ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {C}$ mit $f\left((a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

• Zeigen Sie, dass die $f$ linear ist.
• Bestimmen Sie die Abbildungseigenschaften (injektiv, surjektiv) in Abhängigkeit von $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Konstruktion von Homomorphismen

Konstruieren Sie unterschiedliche Homomorphismen von $\ell ^{1}(\mathbb {C} )$ auf$\ell ^{1}(\mathbb {C} )$, die nicht der Identität auf $\ell ^{1}(\mathbb {C} )$ entsprechen

• Monomorphismus (nur injektiv, aber nicht surjektiv),
• Epimorphismus (nur surjektiv, aber nicht injektiv),
• Automorphismus (aber nicht Identität).

Siehe auch

• Vektorräume
• Kurs:Funktionalanalysis

Seiten-Information

• Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionalanalysis erstellt.
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