Diagonalmatrix Bearbeiten

Als Diagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt.


Skalarmatrizen Bearbeiten

Stimmen dabei sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von Skalarmatrizen.[1] Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix

 .

Inversenbildung Bearbeiten

Betrachtet man quadratische Matrizen und damit insbesondere Diagonalmatrixen als lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum, so lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen und die Eigenwerte der Abbildung können aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden.

Definition Bearbeiten

Eine quadratische Matrix   über einem Körper   mit

 ,

deren Elemente   mit   alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix.

Schreibweise Diagonalmatrix Bearbeiten

Häufig schreibt man dafür

 .

Beispiele Bearbeiten

Zahlenbeispiel Bearbeiten

Die  -Matrix

 

ist eine Diagonalmatrix.

Besondere Diagonalmatrizen Bearbeiten

  • Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert   haben.
  • Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert   haben.

Eigenschaften von Diagonalmatrizen Bearbeiten

Unterring Bearbeiten

Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen  -Matrizen, der nicht kommuntativ ist.

Determinante Bearbeiten

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:

 

Transponierte Matrix Bearbeiten

Die Transponierte   einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder die Diagonalmatrix  .

 

Matrizenaddition Bearbeiten

 
 

Skalarmultiplikation Bearbeiten

 
 

Matrizenmultiplikation Bearbeiten

 
 

Multiplikation einer Matrix   von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von   mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von   mit den Diagonaleinträgen.

Berechnung der Inversen Bearbeiten

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale   ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:

 
 

Transposition Bearbeiten

 


Symmetrie Bearbeiten

Für jede Diagonalmatrix   gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt:  .[2]


Definition: Diagonalisierbarkeit Bearbeiten

Eine quadratische  -dimensionale Matrix   heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix   gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, es existiert eine reguläre Matrix  , so dass gilt  , bzw.  .

Äquivalente Definition Bearbeiten

Äquivalent dazu: Eine  -dimensionale Matrix   mit Einträgen aus einem Körper   ist genau dann diagonalisierbar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Das Charakteristische Polynom   zerfällt vollständig in Linearfaktoren:   mit  
  • Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert  .

Lineare Abbildung Bearbeiten

Für eine lineare Abbildung   (Vektorraum-Endomorphismus) bedeutet dies, dass eine Basis   existiert, bei der die Darstellungsmatrix   eine Diagonalmatrix ist.

Eigenwerte Bearbeiten

Seien   und   mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von  , nämlich  , Eigenwerte von   zu den Einheitsvektoren   sind. Weiterhin ist  . Die   sind also auch Eigenvektoren von  , und zwar jeweils zum Eigenwert  .

Da   invertierbar sein soll, ist   zudem linear unabhängig.

Zusammenfassung Bearbeiten

  • Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass die Matrix     linear unabhängige Eigenvektoren

  zu den Eigenwerte   hat,

  • der Raum  , auf dem sie operiert, also eine Basis aus Eigenvektoren von   besitzt.
  • Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus   gefundenen Eigenvektoren von   mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete   und   ganz direkt konstruieren.

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix Bearbeiten

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.


Diagonalisierung Bearbeiten

Ist eine Matrix   diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix  , für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

 

Berechnung Diagonalmatrix Bearbeiten

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix   und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:

Schritt 1 - Eigenwerte bestimmen Bearbeiten

  • Es werden die Eigenwerte   der Matrix   bestimmt.

Schritt 2 - Eigenräume bestimmen Bearbeiten

  • Es werden die Eigenräume   zu allen Eigenwerten   berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst:
 .

Schritt 3 - Diagonalform und Basis Bearbeiten

Nun ist die Diagonalform   der Matrix   bezüglich der Basis  :

  •  
  •   mit   als Eigenvektor zum Eigenwert  

Simultane Diagonalisierung Bearbeiten

Gelegentlich will man auch zwei Matrizen   mit derselben Transformation   diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt

  und   und da   und   Diagonalmatrizen sind,
 .

Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren.

Umkehrung: Simultane Diagonalisierung Bearbeiten

In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.

Banachalgebren Bearbeiten

Der Matrizenraum ist als Vektorraum und einer Norm nicht nur ein vollständiger normierter Vektorraum, sondern mit der Matrixmultiplikation auch eine Banachalgebra über   bzw.  . Das Konzept der Eigenwerte wird mit der Definition eines Spektrum von Elementen aus dem Grundraum auf Banachalgebren verallgemeinert.

Aufgabe Bearbeiten

Betrachten Sie die folgenden Normen   Banachalgebra der quadratischen  -Matrizen mit der Matrixmultiplikation:

 
 
 

mit  .

  • Welche dieser Normen ist submultiplikativ d.h.   für alle  -Matrizen  ?
  • Falls die Norm nicht submultiplativ ist, ersetzen Sie die Norm durch eine äquivalente Norm die submultiplikativ ist.

Siehe auch Bearbeiten

Wiki2Reveal Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990.
  2. Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, S. 363.

Seiten-Information Bearbeiten