Diagonalisierung
Diagonalmatrix Bearbeiten
Als Diagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt.
Skalarmatrizen Bearbeiten
Stimmen dabei sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von Skalarmatrizen.[1] Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix
- .
Inversenbildung Bearbeiten
Betrachtet man quadratische Matrizen und damit insbesondere Diagonalmatrixen als lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum, so lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen und die Eigenwerte der Abbildung können aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden.
Definition Bearbeiten
Eine quadratische Matrix über einem Körper mit
- ,
deren Elemente mit alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix.
Schreibweise Diagonalmatrix Bearbeiten
Häufig schreibt man dafür
- .
Beispiele Bearbeiten
Zahlenbeispiel Bearbeiten
Die -Matrix
ist eine Diagonalmatrix.
Besondere Diagonalmatrizen Bearbeiten
- Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert haben.
- Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert haben.
Eigenschaften von Diagonalmatrizen Bearbeiten
Unterring Bearbeiten
Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen -Matrizen, der nicht kommuntativ ist.
Determinante Bearbeiten
Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:
Transponierte Matrix Bearbeiten
Die Transponierte einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder die Diagonalmatrix .
Matrizenaddition Bearbeiten
Skalarmultiplikation Bearbeiten
Matrizenmultiplikation Bearbeiten
Multiplikation einer Matrix von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von mit den Diagonaleinträgen.
Berechnung der Inversen Bearbeiten
Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:
Transposition Bearbeiten
Symmetrie Bearbeiten
Für jede Diagonalmatrix gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt: .[2]
Definition: Diagonalisierbarkeit Bearbeiten
Eine quadratische -dimensionale Matrix heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, es existiert eine reguläre Matrix , so dass gilt , bzw. .
Äquivalente Definition Bearbeiten
Äquivalent dazu: Eine -dimensionale Matrix mit Einträgen aus einem Körper ist genau dann diagonalisierbar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Das Charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren: mit
- Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert .
Lineare Abbildung Bearbeiten
Für eine lineare Abbildung (Vektorraum-Endomorphismus) bedeutet dies, dass eine Basis existiert, bei der die Darstellungsmatrix eine Diagonalmatrix ist.
Eigenwerte Bearbeiten
Seien und mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von , nämlich , Eigenwerte von zu den Einheitsvektoren sind. Weiterhin ist . Die sind also auch Eigenvektoren von , und zwar jeweils zum Eigenwert .
Da invertierbar sein soll, ist zudem linear unabhängig.
Zusammenfassung Bearbeiten
- Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass die Matrix linear unabhängige Eigenvektoren
zu den Eigenwerte hat,
- der Raum , auf dem sie operiert, also eine Basis aus Eigenvektoren von besitzt.
- Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus gefundenen Eigenvektoren von mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete und ganz direkt konstruieren.
Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix Bearbeiten
Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.
Diagonalisierung Bearbeiten
Ist eine Matrix diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix , für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:
Berechnung Diagonalmatrix Bearbeiten
Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:
Schritt 1 - Eigenwerte bestimmen Bearbeiten
- Es werden die Eigenwerte der Matrix bestimmt.
Schritt 2 - Eigenräume bestimmen Bearbeiten
- Es werden die Eigenräume zu allen Eigenwerten berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst:
- .
Schritt 3 - Diagonalform und Basis Bearbeiten
Nun ist die Diagonalform der Matrix bezüglich der Basis :
- mit als Eigenvektor zum Eigenwert
Simultane Diagonalisierung Bearbeiten
Gelegentlich will man auch zwei Matrizen mit derselben Transformation diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt
- und und da und Diagonalmatrizen sind,
- .
Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren.
Umkehrung: Simultane Diagonalisierung Bearbeiten
In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.
Banachalgebren Bearbeiten
Der Matrizenraum ist als Vektorraum und einer Norm nicht nur ein vollständiger normierter Vektorraum, sondern mit der Matrixmultiplikation auch eine Banachalgebra über bzw. . Das Konzept der Eigenwerte wird mit der Definition eines Spektrum von Elementen aus dem Grundraum auf Banachalgebren verallgemeinert.
Aufgabe Bearbeiten
Betrachten Sie die folgenden Normen Banachalgebra der quadratischen -Matrizen mit der Matrixmultiplikation:
mit .
- Welche dieser Normen ist submultiplikativ d.h. für alle -Matrizen ?
- Falls die Norm nicht submultiplativ ist, ersetzen Sie die Norm durch eine äquivalente Norm die submultiplikativ ist.
Siehe auch Bearbeiten
- Übung:Diagonalisierung
- Äquivalenz (Matrix)
- Ähnlichkeit (Matrix)
- Antidiagonalmatrix
- Blockdiagonalmatrix
- Trigonalisierung
- Matrix (Ähnlichkeit)
- Banachalgebra - vollständig normierte Räume mit einer Multiplation auf dem Vektorraum.
- Spektrum eine Elementes
- Spektralsatz
Wiki2Reveal Bearbeiten
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- ↑ Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990.
- ↑ Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, S. 363.
Seiten-Information Bearbeiten
- Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionalanalysis erstellt.
- Inhalte der Seite basieren auf: https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix
- Diese Seite ist ein PanDocElectron-SLIDE Dokumententyp
- OER-Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Diagonalisierung
- Nächste Inhalte des Kurses Trigonalisierbarkeit Matrizen als Beispiel für Operatoren auf dem
- Dynamische Erzeugung der Reveal-Präsentation von dieser Seite.
- siehe Wiki2Reveal zur Funktionsweise von Wiki2Reveal.