Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der $m\times n$-Matrizen.

Definition: Äquivalenz von Matrizen

Zwei Matrizen $A$ und $B$ sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung

$f\colon \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}$ gibt und es Basen $B_{1},B_{2}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{1},C_{2}$ von $\mathbb {K} ^{m}$ gibt, so dass

$A=M_{B_{1}}^{C_{1}}(f)$ und

$B=M_{B_{2}}^{C_{2}}(f)$ gilt,

d. h. $A$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{1}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{1}$ von $\mathbb {K} ^{m}$, und $B$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{2}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{2}$ von $\mathbb {K} ^{m}$.

Äquivalente Aussage

Zur Aussage „die $m\times n$-Matrizen $A$ und $B$ sind äquivalent über dem Körper $\mathbb {K}$“ ist folgende Aussage äquivalent:

• Es gibt eine invertierbare $m\times m$-Matrix $S\in GL(m,\mathbb {K} )$ und eine invertierbare $n\times n$-Matrix $T\in GL(m,\mathbb {K} )$ über $\mathbb {K}$, so dass $B=S\cdot A\cdot T$ gilt.

Aussagen über äquivalente Matrizen

• Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
• Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.

Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.

Literatur

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4. Auflage. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-37235-4. S. 101 und S. 163

Siehe auch

• Ähnlichkeit (Matrix)
• Diagonalisierung
• Trigonalisierung

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