Endliche Algebra über Körper/Kommutativ/Einheit und Nichtnullteiler/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}f$ eine Einheit ist, so gibt es ${}g\in A$ mit ${}gf=1$. Aus ${}fh=0$ folgt dann direkt

${}h=gfh=g0=0\,.$

Also ist ${}f$ ein Nichtnullteiler.

Wenn umgekehrt ${}f$ ein Nichtnullteiler ist, so betrachten wir die ${}K$-lineare Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,h\longmapsto fh,$

die in diesem Fall injektiv ist. Da ${}A$ als Modul endlich über dem Körper ${}K$ ist, ist ${}A$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Nach Fakt ist dann ${}\mu _{f}$ auch surjektiv, was insbesondere bedeutet, dass es ein ${}g\in A$ mit

${}fg=1\,$

gibt. Dies bedeutet aber, dass ${}f$ eine Einheit ist.

Zur gelösten Aufgabe