Endliche Gruppe/Darstellung/Satz von Maschke/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

eine Darstellung von . Wir müssen zeigen, dass die Darstellung vollständig reduzibel ist, also eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von . Bei ist nichts zu zeigen. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, so sind wir ebenfalls fertig. Andernfalls gibt es einen echten -invarianten Untervektorraum . Dieser hat nach Fakt ein -invariantes Komplement . Nach Induktionsvoraussetzung besitzen und eine direkte Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Dies überträgt sich auf .