Endliche Gruppe/Operation auf Integritätsbereich/Quotientenkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Die Inklusion ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$ gilt nach Fakt  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien ${}f,g\in R$, ${}g\neq 0$, mit ${}{\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}$ gegeben. Wir betrachten

${}h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.$

Dann gelten in ${}Q(R)$ die Identitäten

${}{\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)}g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}$

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist ${}{\frac {f}{g}}\in {\left(R^{G}\right)}$.

Zur bewiesenen Aussage