Es sei eine
endliche Gruppe
und ein
kommutativer Ring.
Wir setzen
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mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von sind. Wir definieren auf eine
Hopf-Algebrastruktur
unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation
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führt zur Abbildung
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wodurch wir die
Komultiplikation
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festlegen. Das Basiselement zu wird dabei auf
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abgebildet. Das neutrale Element induziert die Auswertungsabbildung
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und die Inversenbildung
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führt zu
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wobei das Basiselement auf abgebildet wird. Die Abbildungen sind offenbar
-Algebrahomomorphismen.
Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.