Endliche Körper/Endliche Erweiterung/Galois/Zwischenkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}q=p^{m}$. Wenn ${}K$ ein Unterkörper von ${}L$ ist, so ist ${}L$ ein ${}K$-Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Elementanzahl von ${}L$ eine Potenz von ${}q$ sein. Aus

${}p^{n}=q^{k}=(p^{m})^{k}=p^{mk}\,$

ergibt sich sofort, dass ${}n$ ein Vielfaches von ${}m$ ist.

Es sei umgekehrt ${}m$ ein Teiler von ${}n$. Die Frobeniusiteration ${}\Phi ^{m}$ auf ${}L$ erzeugt eine Untergruppe ${}H$ der nach Fakt zyklischen Galoisgruppe von ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq L$. Die Ordnung von ${}H$ ist ${}n/m$. Es sei ${}M=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq L$ der zugehörige Fixkörper. Dann besitzt die Körpererweiterung ${}M\subseteq L$ nach Fakt den Grad ${}n/m$ und somit besitzt ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq M$ den Grad ${}m$. Daher besitzt ${}M$ gerade ${}p^{m}$ Elemente und ist daher wegen Fakt isomorph zu ${}K$.

Zur bewiesenen Aussage